Las
funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos
lados de un triángulo rectángulo asociado a sus
ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son
extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo
trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad).
Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la
solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a
valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen
seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en
relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir
geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes
antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan
actualmente ; por ejemplo el verseno
(1 − cos θ) y la ex secante (sec θ − 1).
Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:
Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo - es
decir, si se añaden 360° - es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo
mismo ocurre con las otras cinco
funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las
inversas de las otras tres, es decir,
Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.
Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.
Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:
Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que Q= 45 ° y que B = a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c² = 2.a² o que c = a². Por tanto
sen 45° = cos 45° = 1/√2
tg 45° = cotg 45° = 1
sec 45° = cosec 45° = √2
Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden hallar de forma aproximada dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en el siguiente apartado.
Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:
| seno (sen) del ángulo θ = coseno (cos) del ángulo θ = tangente (tg) del ángulo θ = cotangente (cotg) del ángulo θ = secante (sec) del ángulo θ = cosecante (cosec) del ángulo θ = |
sen θ = y/r cos θ = x/r tg θ = y/x cotg θ = x/y sec θ = r/x cosec θ = r/y |
cotg θ = 1/tg θ; sec θ = 1/cos θ; cosec θ = 1/sen θ
Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se
encuentra en el eje
y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está
definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante
de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P
está en el eje x,la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante
de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida.
Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.
Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.
Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:
| sen θ = | opuesto | = | a | |
| hipotenusa | c | |||
| cos θ = | adyacente | = | b | |
| hipotenusa | c | |||
| tg θ = | opuesto | = | a | |
| adyacente | b | |||
| cotg θ = | adyacente | = | b | |
| opuesto | a | |||
| sec θ = | hipotenusa | = | c | |
| adyacente | b | |||
| cosec θ = | hipotenusa | = | c | |
| opuesto | a | |||
Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que Q= 45 ° y que B = a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c² = 2.a² o que c = a². Por tanto
sen 45° = cos 45° = 1/√2
tg 45° = cotg 45° = 1
sec 45° = cosec 45° = √2
Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden hallar de forma aproximada dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en el siguiente apartado.
